2025/8/5,
Hiizu Nakanishi
スリンキー・コイルの落下運動のノート2
一定の張力$T$で引っ張られていた場合
重力ではなく一定の張力でスリンキー・コイルの下端が引っ張られていた場合、
上端を離したときにコイルが縮んてゆく速度と、
コイル中を伝播する波の速度を求める。
静止したコイルの平衡状態
コイル全体の質量を$M$、バネ定数を$K$として、
コイルの各部分を$\ell\in[0,1]$で指定する。
すると、コイルの微小部分$d\ell$の質量$m$およびバネ定数$k$は
\[
m = Md\ell, \qquad k = {K\over d\ell}
\]
で与えられる。
コイル全体に一定の張力$T$がかかっていた場合には、微小部分$d\ell$の伸び
$dz$は
\[
dz = {T\over k} = {T\over K}\, d\ell
\]
なので、コイルの平衡状態は
\[
z^0(\ell) = \int_0^{z^0}dz' =\int_0^\ell {T\over K}d\ell' = {T\over K}\,\ell
\tag{1}
\]
で与えられる。
スリンキー・コイルの収縮速度
上端を離した後、
$ 0< \ell < \ell_{\rm top}$までが縮退して一体となって運動して、
$\ell_{\rm top}<\ell<1$は静止状態のままだとすると、
コイル全体の重心$z_G(\ell_{\rm top})$は
\[
z_G(\ell_{\rm top}) = {1\over M}\left(
M\ell_{\rm top} z^0(\ell_{\rm top})
+ \int_{\ell_{\rm top}}^1 d\ell' M z^0(\ell')
\right)
\]
となる。時刻$t$におけるコイル全体の運動量は$Tt$なので、上式を用いて
\[
Tt = M{d z_G(\ell_{\rm top})\over dt}
= M\ell_{\rm top}
{d z^0(\ell_{\rm top})\over dt}
%{d z^0(\ell_{\rm top})\over d\ell_{\rm top}} \dot\ell_{\rm top}
\]
となり、これより
\[\ell_{\rm top}(t) = \sqrt{K\over M}\times t
\]
と求まる。
バネの上端の速度は
\[ v_{\rm top} = {d z^0(\ell_{\rm top})\over dt}
={T\over M}\; {t\over \ell_{\rm top}}
= {T\over \sqrt{MK}}
\tag{2}
\]
となる。
これは、張力$T$のスリンキー・コイルを伝わる波の速さに等しい。
スリンキー・コイルの波の伝播速度
コイルの伸びは$dz$なので、張力$\sigma$は
\[
\sigma = k\, dz = K{\partial z\over \partial \ell}
\]
と与えられる。
コイル中を伝わる波の式は
\[
M\, d\ell\, \ddot z
= K\left( {\partial z\over \partial \ell}\Bigg|_{\ell+d\ell/2}-
{\partial z\over \partial \ell}\Bigg|_{\ell+d\ell/2}\right)
%
\quad\Rightarrow\quad
%
{\partial^2 z\over\partial\, t^2}
= {K\over M}{\partial^2 z\over\partial\, \ell^2}
\]
音速$c$は、式(1)より
\[
c = \sqrt{K\over M}\, {d z^0\over d\ell} = {T\over\sqrt{MK}}
\tag{3}
\]
となり、コイルの収縮速度(2)に等しい。
これは、重力のような外場の影響がなく一様な張力のもとでは、
収縮したスリンキー・コイルの伝播速度はコイル中の情報伝達速度に等しい
ということを表しているようだ。
それに対して、コイルを鉛直にぶら下げた場合には、
下にゆくほどコイルの伸びが小さくなり、
それに比例してコイル中を伝播する音速は遅くなるが、
収縮したコイルが落下する速度の減速度はそれよりも小さく、
コイル中を伝播するパルスよりも先に、収縮して一体化したコイルが落下してくる。