軸の接地点が固定された対称コマの運動の理論

運動方程式: 軸の接地点が固定された対称コマの運動方程式は、 \[\left\{ \begin{array}{rl}\displaystyle M{d^2 \vec r_G\over dt^2} & = -Mg\vec{e}_z + \vec N \\\displaystyle {d\vec L_G\over dt} & = \big(-\vec r_G\big) \times\vec N \end{array}\right. \tag{1} \] で与えられる。ただし、$\vec r_G$はコマの軸の床の接点Oを始点とするコマの重心の位置ベクトル、$\vec L_G$は重心まわりの角運動量、 $\vec N$は床からの抗力、$\vec e_z$は鉛直上向きの単位ベクトルを表す。

この2つの式から$\vec N$を消去して、 \[ {d\vec L_G\over dt} = -\vec r_G\times M\left( {d^2 \vec r_G\over dt^2} +g\vec{e}_z \right) \tag{2} \] を解けばよい。

この式を、コマの回転角速度ベクトル$\vec\omega$ のコマに固定された座標系($XYZ$系, コマの回転軸を$Z$軸とする)の成分で表すと、 \[\left\{\begin{array}{rl}\displaystyle {d \omega_X\over dt} &\displaystyle =\phantom{-} \left(1-{C\over A_0}\right)\omega_0\omega_Y + {Mr_Gg\over A_0}e_{zY} \\\displaystyle {d \omega_Y\over dt} &\displaystyle = -\left(1-{C\over A_0}\right)\omega_0\omega_X - {Mr_Gg\over A_0}e_{zX} \\\displaystyle {d \omega_Z\over dt} & = 0 \qquad\Rightarrow\quad \omega_Z = \omega_0\quad\mbox{(const.)} \end{array}\right. \tag{3} \] を得る。ただし、$A$, $B (=A)$, $C$を重心まわりのコマの主慣性モーメントとして、 $A_0:= A + M r_G^2$は軸の床の接点Oをとおる$X$軸、または$Y$軸に平行な軸のまわりの慣性モーメントである。また、 $\omega_0$はコマの軸まわりの回転角速度すなわち$\omega_Z$で、一定値をとる。

$e_{zX}$, $e_{zY}$は、それぞれ、鉛直上向き単位ベクトル$\vec e_z$の $X$成分および$Y$成分で、$XYZ$系から実験室系($xyz$系)に変換する四元数 $R_q$を用いて、 \[ e_{zX}\,\hat i + e_{zY}\,\hat j + e_{zZ}\,\hat k = R_q^{-1}\hat k\, R_q \tag{4} \] から求められる。$R_q$の時間発展は \[ {d R_q\over dt} = {1\over 2}\ R_q\, \omega_q\,;\qquad \omega_q:= \omega_X \hat i + \omega_Y \hat j + \omega_Z \hat k \tag{5} \] で与えられる。式(3)～(5)を連立させて解けばよい。

実際の数値計算では式(3)の回転部分を除くために、コマに固定された座標系($XYZ$系)において角速度$-(1-C/A_0)\omega_0 \vec e_Z$で回転する座標系($X'Y'Z'$系)で解いている。

詳細は計算ノート参照のこと。