Kapitzaの振り子

散逸を大きくしておいて、振動の向きを回転させると、 それに従って振り子の向きも回転します。 振幅 $f$ と振動数 $\Omega$ の積 $f\Omega$ を大きくすると、 振り子はより忠実に振動の向きに従います。

シミュレータでは、腕の長さ $\ell$ の振子の支点を、 鉛直から角度 $\theta$ 傾いた方向に \[ f(t):=f\sin\Omega t \] の振動を加えています。 数値的に解いた方程式は、鉛直上向きから測った振子の角度を $\varphi$ として、 \[ \ddot\varphi = {g\over\ell}\sin\varphi + {\ddot f(t)\over\ell}\sin\big(\varphi-\theta\big) -\alpha\,\dot\varphi \] です。ここで、$\alpha$は現象論的に導入した散逸パラメーターです。

パラメーターの値は、長さの単位を $\ell$、 時間の単位を$\sqrt{\ell/g}:=1/\omega_0$ に取ったもので与えます。 ここで、$g$ は重力の加速度です。

このような、 支点が高速で振動する振り子の理論的解析はKapitzaによって与えられた （ランダウ・リフシッツ、理論物理教程「力学」第30節）。

その解析によると、 支点に加えた振動の振幅 $f$ が振子の腕の長さ $\ell$ よりもずっと小さく、 角振動数 $\Omega$ が振り子の角振動数 $\omega_0:=\sqrt{g/\ell\;}$ よりずっと大きい時、条件 \[ \Omega f > \sqrt{2}\; \omega_0\,\ell \] を満たせば、振り子の倒立状態が安定化する。

上下振動を加えた場合、上向き方向だけではなく下向き方向も安定化するので、 倒立状態を実現するには、振り子を水平方向より上に持ってゆく必要がある。

また、摩擦がないと振動によって与えられるエネルギーで振り子は回転したり、 釣り合い角を中心に振動し続け、倒立状態で静止することは無い。

散逸を大きくして斜め方向に振動を加えると、振り子は斜め方向に安定化する。

詳しい理論解析は、 このリンクの Kapitzaの振子の理論 を参照してください。